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- 函数的本质是什么？
函数的本质是什么？
函数一词最早出现于清朝数学家李善兰的译作《代数学》一书中。从字面意思来看，函数就是一个数中包含着另一个数。
（李善兰出生于1811年，是中国近代数学先驱）
初中阶段，我们就开始接触函数这个概念了，教科书上是这样说的：在某一变化过程中，存在两个变量，如果其中一个量y总存在唯一对应的值随着x值的改变而改变，那么y就被称之为x的函数。其中x被称之为自变量，另一个量y则被称之为因变量。
高中阶段，函数的概念又更加深刻了，出现了集合和映射的概念，将只能是数的变量拓展到了包含任意元素的集合。高中函数的定义是这样的：假设AB两个集合是非空集，按照某种对应关系（又称之为映射）f，对于集合A中的任意元素a，集合B中总是存在唯一对应的元素b，那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数。在这里，变量的取值范围分别称之为定义域和值域。
其实，函数就是描述变量的一种手段。这个世界因为存在因果律，才使得我们可以用函数这种概念去描述变量之间的关系。不管是连续的量还是离散的量，只要是变量都可以用函数来描述。比如随机变量就存在分布函数。正因为如此，函数在生活中才变得如此的重要。
函数不一定存在数学解析式，函数的图像也并不一定能够完整的画出来，但变量与变量之间的关系却是真实存在的。在变化的世界中寻找规律是一件很困难的事，但科学技术的发展都离不开它。
我们在中学阶段学习的都是初等函数，初等函数是由五大基本初等函数和常数在有限次的有理运算和复合操作后演绎而成的，它们是：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。有时还会引入常数函数这个概念。除了初等函数，还有非初等函数，比如狄利克雷函数和黎曼函数等。
如果按照取值范围，又可以分为实变函数与复变函数。如果函数中只含有一个自变量，就称之为一元函数；有两个及以上自变量的，就称之为多元函数。关于函数的性质就更多了，主要有奇偶性、单调性、周期性、连续性、凹凸性、有界性等。
总结起来，函数就是集合与集合之间一种确定的对应关系。
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谢邀。路过打酱油。
一直喜欢数学，但是离开太久，已经无法使用专业术语。简单说说我的理解。
函数的本质，是标记事物的运动轨迹。
一个事物的运动轨迹，之所以作为我们的研究对象，主要是为明确该事物将于何时出现于何地的问题，对应到数学上就是取值与函数值之间的对应关系。有句歌词叫做，无论何时，无论何地，心中一样亲。
比如金大侠小说中大理段誉的凌波微步，就可以做成平面函数乃至立体函数。又如篮球的投篮，足球的射门，芭蕾舞演员的脚尖等等，也都可以做成函数来玩。现在的技术条件太好了，我们可以录像重放，来确定时间与空间的函数关系。
光说武术体育舞蹈容易让人误解。同样在经济领域，如商品价格与其市场占有率的关系，也是一种有研究价值运动轨迹。在健康领域，癌症发病率与年龄的关系，同样是一种有研究价值的运动轨迹。学习生活比较规律的大学生，一天或一周出没于宿舍食堂教学楼图书馆实验楼运动场，也是有研究价值的运动轨迹。
我主张，学一个东西最好的办法就是当做玩，而且要玩坏它，能做到玩坏了的程度，基本就是骨灰级玩家了。这时候就可以不用专业术语说话了，用普通（的人）话就好。
这当然是我理想化了，哈哈哈😄
不请自来，我是数学漫谈——专注数学教育，传播数学文化，下面谈谈我的认识。
函数是我们接触很早的一个概念，初中阶段我们开始接触函数的概念，从一次函数到反比例函数再到二次函数，到了高中阶段我们学习指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数。可以说在中学阶段我们一直在和函数打交道。
大学阶段的高等数学或数学分析，研究对象就是函数，还有复变函数、实变函数、泛函分析等等。总之一句话如果你一直学习数学的话，你会发现函数是陪伴你最长的概念。
那到底函数的本质是什么？其实函数的概念并非生来就有，也并非一成不变的，对于函数的本质，不同的历史阶段有不同的认知。人们对函数的认知从最早的变量说、发展为对应说，再到后来的关系说，最后推广到集合范畴。
古罗马数学家丢番图在《算术》中引入了变量的概念，这是函数概念的萌芽。
函数概念的真正发展是16世纪以后，尤其是微积分的创立，极大的促进了函数概念的产生、发展和完善。
17世纪伽利略的著作《两门新科学》中包含了变量或函数的概念，不过他是用文字和比例的语言来表达的，没有明确的提到函数的概念。
在此之后，解析几何之父——笛卡尔在研究中发现了两个变量之间存在相互依赖的关系，最先提出了“变量”的概念。
为了解释函数的本质是什么？有必要知道函数的发展史，通过了解函数的发展历程，我们可以从表面本质彻底的认识函数！
1.伽利略是最早透露出函数概念的，只不过当时用的不是函数这个名词，他指出：用文字和比例的语言表达两个量的关系。仅此而已。
2.随后解析几何出现，直角坐标系的发明者笛卡尔在解析几何中注意到：“两个变量之间的关系也一个变量，总是依靠另一个变量而存在”。很遗憾的是，当时大部分函数都被当做曲线来研究，并没有意识到需要提炼出函数这一概念！
3.时间到了1673年，莱布尼茨首次使用“function”表示“幂”，后来陆续用function表示曲线上点的坐标或者与曲线有关的量，这个时候“function”的词义应该不被翻译成函数，应该翻译成“功能”（个人观点），但是无论如何，1673年是数学历史上第一次见到“function”一词，是历史性的突破！直到现在，依然都是使用它！
1.1718年，伯努力在莱布尼茨的基础上，对函数再次进行了定义：“强调函数需要用公式来表示”，到这儿可以看出比较接近我们现代函数了。
2.1756年，伟大数学家欧拉给出定义，一个变量的函数是由这个变量和一些数（即常数），以任何方式组成的解析表达式。可以看出这个概念中解析式对于函数的重要意义被体现出来，比伯努利的定义更普遍，更具有广泛意义。
不要着急，很接近本质了！
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